РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1680 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: IV

Классификатор стереометрии: 3\.11\. Правильная четырёхугольная призма, 3\.18\. Шар, 3\.21\. Комбинации многогранников и круглых тел, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел

Площади

Сфера проходит через все вершины нижнего основания правильной четырехугольной призмы и касается ее верхнего основания. Найдите площадь сферы, если площадь диагонального сечения призмы равна $дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: Пи конец дроби ,$ а высота призмы в два раза меньше радиуса сферы.

Решение. Изобразим на рисунке плоскость диагонального сечения призмы. Введем обозначения, как показано на рисунке: радиус сферы пересекает диагональ нижнего основания AD в точке H, касается диагонали BC в точке К.

Рис. 1

Рис. 2

Четырехугольник ABCD  — прямоугольник, отрезок OK перпендикулярен сторонам AD и BC. По условию $HK = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби r.$ Найдем стороны прямоугольного треугольника AHO: $AO = r,$ $OH = HK = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби r,$ отсюда $AH = дробь: числитель: r корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .$ Площадь диагонального сечения

$S_ABCD = AD умножить на AB = 2AH умножить на AB = r корень из 3 умножить на дробь: числитель: r, знаменатель: 2 конец дроби = r в квадрате дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .$ $S_ABCD = AD умножить на AB = 2AH умножить на AB =$
$= r корень из 3 умножить на дробь: числитель: r, знаменатель: 2 конец дроби = r в квадрате дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .$ $S_ABCD = AD умножить на AB =$
$= 2AH умножить на AB =$
$= r корень из 3 умножить на дробь: числитель: r, знаменатель: 2 конец дроби = r в квадрате дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .$

По условию площадь диагонального сечения равна $дробь: числитель: 9 корень из 3 , знаменатель: Пи конец дроби ,$ откуда $r в квадрате = дробь: числитель: 18, знаменатель: Пи конец дроби .$ Таком образом,

$S = 4 Пи r в квадрате = 4 Пи умножить на дробь: числитель: 18, знаменатель: конец дроби pi = 72.$

Ответ: 72.

Ответ: 72

1680

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: IV

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1680	72